historia de la trigonometria

1.HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA : La historia de la trigonometría comienza con los Babilónicos y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

2- Definición de sen a, cos a, tg a : 

Un triángulo rectángulo consta de un ángulo de 90^oy dos ángulos agudos. Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene las funciones de seno, coseno y tangente. El seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son rezones de dos de los tres catetos de un triángulo rectángulo.

El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.

La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.

3.Problemas resueltos de trigonometria :

 1.Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :

 Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

                                  

2.EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo

 Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula;    es decir a = 14 m,b = 8 m y c es el lado que queremos calcular

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

                   a² = b² + c ²
                  14²= 8² + c²  
                 196 = 64 + c²
           196 - 64 = c²
                  132 = c²                        y aplicando las fórmulas
               11,49 = c                                    tenemos:

          Luego c = 11, 49 m. 

EJERCICIO 3: Determina los ángulos del ejercicio anterior

Obviamente ya sabemos que el ángulo A es el ángulo recto y por tanto A = 90º. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones trigonométricas y con la ayuda de la calculadora.

Si queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este caso son cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón trigonométrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, así que calculo cos C

Cos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cuál es el ángulo, utilizando la función inversa de la tecla "cos", y el resultado es C = 55,25º.

Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qué razón puedo calcular, o como ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es B = 34,75º.